Transformasi Lorentz

Tinjau kerangka stasiun ({O}) dan kereta ({O'}).

kerangka-stasiun-kereta-posisi-lorentz

Secara umum, koordinat menurut stasiun ({t, x, y, z}) dapat dinyatakan dalam variabel koordinat menurut kereta ({t', x', y', z'}) sebagai

\displaystyle t = P t' + Q x',\\ x = R t' + S x',\\ y = y' \qquad z=z', \ \ \ \ \ (1)

dengan {P, Q, R, S} adalah fungsi yang bergantung pada kecepatan kereta {v}. Saat kereta diam ({v=0}) keempat fungsi tersebut tereduksi menjadi 1, sehingga koordinat menurut stasiun nilainya sama dengan koordinat menurut kereta.

Sekarang, kita tinjau Ahmad yang berada baris paling belakang di dalam kereta, dan anggaplah berhimpit dengan titik {O'} di dalam kereta. Posisi titik ini adalah {x'=0}. Persamaan transformasi (untuk koorinat {{t, x}}) di atas tereduksi menjadi

\displaystyle t = P t' \qquad x = Rt'. \ \ \ \ \ (2)

Untuk selang tertentu, dapat ditulis

\displaystyle \Delta t = P \Delta t' \qquad \Delta x = R \Delta t'. \ \ \ \ \ (3)

Dari persamaan ini diperoleh

\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t } = \frac{R}{P}. \ \ \ \ \ (4)

Ruas kiri persamaan di atas tidak lain merupakan laju perubahan posisi Ahmad tiap waktu jika diukur oleh kerangka stasiun. Jelas bahwa nilainya sama dengan kecepatan kereta terhadap stasiun ({v}), sehingga

\displaystyle \frac{R}{P} = v. \ \ \ \ \ (5)

Sekarang, mari kita tinjau Budi yang diam di stasiun dan anggap posisinya adalah {x=0}. Persamaan transformasi untuk posisi Budi memberikan

\displaystyle 0 = R t' +Sx' \Rightarrow \frac{x'}{t'} = \frac{-R}{S} \Rightarrow \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{-R}{S} = -v. \ \ \ \ \ (6)

Pada persamaan di atas, besaran {\frac{\Delta x'}{\Delta t'}} kita kenali sebagai laju perubahan posisi Budi terhadap waktu jika diukur oleh kerangka kereta, dan nilainya adalah {-v}. Tanda negatif menunjukkan bahwa menurut koordinat kereta, stasiun bergerak ke kiri.

Dari dua persamaan terakhir, diperoleh

\displaystyle \frac{R}{P} = \frac{R}{S} \Rightarrow P = S. \ \ \ \ \ (7)

Sehingga persamaan transformasi (untuk koordinat {{t,x}}) menjadi berbentuk

\displaystyle t = P t' + Q x',\\ x = R t' + P x'. \ \ \ \ \ (8)

Sekarang, mari kita tinjau kejadian berikut. Saat {t=t'=0} titik {O'} kereta dan {O} stasiun berhimpit satu sama lain. Kemudian seberkas cahaya dipancarkan dari titik tersebut ke arah sumbu-{x}. Kerangka kereta akan melihat jarak yang ditempuh cahaya sebagai {x= ct}, sehingga dapat dituliskan

\displaystyle x^2 = c^2t^2 \ \ \ \ \ (9)

Kita terapkan persamaan transformasi untuk mendapatkan

\displaystyle R^2t'^2 + 2PRt'x' + P^2 x'^2 = c^2 \left(P^2 t'^2 + 2PQt'x' + Q^2x'^2\right) \nonumber\\ \Leftrightarrow \left(P^2 - c^2 Q^2\right) x'^2 + \left(2PR-2c^2 PQ \right)x't' = \left(P^2 - \frac{R^2}{c^2} \right)c^2 t'^2. \ \ \ \ \ (10)

Kerangka kereta, akan melihat jarak yang ditempuh cahaya sebagai {x' = ct'}, sehingga

\displaystyle x'^2 = ct'^2. \ \ \ \ \ (11)

Agar persamaan terakhir ini dipenuhi maka haruslah

\displaystyle \left(P^2 - c^2 Q^2\right) = 1,\\ \left(2PR-2c^2 PQ \right) = 0 \Leftrightarrow R - c^2 Q = 0, \\ \left(P^2 - \frac{R^2}{c^2} \right) = 1. \ \ \ \ \ (12)

Mengingat {\frac{R}{P} = v} maka persamaan terakhir menghasilkan

\displaystyle \left(P^2 - \frac{P^2 v^2}{c^2}\right) = 1 \Leftrightarrow P = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \ \ \ \ \ (13)

Sehingga

\displaystyle R = vP = \frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \ \ \ \ \ (14)

Kemudian persamaan (12) memberikan

\displaystyle Q = \frac{R}{c^2} = \frac{v/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \ \ \ \ \ (15)

Jadi, pada akhirnya persamaan transformasi Lorentz berbentuk

\displaystyle t=\gamma\left( t'+vx'/c^2\right), \\ x = \gamma\left(x'+ vt'\right),\\ y = y', ~~~~z =z', \ \ \ \ \ (16)

dengan {\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}} disebut faktor Lorentz.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s